Hopalong Fraktal
Wie funktionierts?
Beim Häkeldeckchen-Programm werden 3 Parameterwerte (Konstanten) der Hopalong-Formel vor dem Programmstart willkürlich festgelegt. Nach dem Start werden zwei in der Hopalong-Formel vorhandenen Variablen (durch Iteration) permanent verändert. Aus dem Ergebnis werden zwei Koordinaten abgeleitet. An diesen Koordinaten wird ein Punkt gezeichnet, dessen Farbe, die nichts mit dem Ergebnis der Formel zu tun hat, beliebig gewählt werden kann. Da die Ergebnisse der Berechnungen mit fortschreitender Iteration stark fluktuieren, wird das Muster nicht Zeile für Zeile gezeichnet, sondern entsteht aus einem scheinbar zufällig auf der Fläche umher hüpfenden Punkt.
Irgendwann kam ich auf die Idee, zwei der drei vorher fest einzugebenden Parameter als X- und Y-Koordinaten einer Fläche zu interpretieren. Während des Programmablaufs wird nun Zeile für Zeile pixelweise erfasst: Die Koordinaten (mit Nachkommastellen) werden in die Hopalong-Formel nun genau dort eingesetzt, wo sich zuvor die festen Parameter befanden. Nun wird für jeden einzelnen Punkt auf der Fläche die Iteration durchgeführt. Das Ergebnis führt in der abgewandelten Version zu einem einzigen Zahlenwert. Dieser Zahlenwert wird in eine Farbe konvertiert und an der betreffenden Stelle auf der Bildfläche eingezeichnet.
Zum Ermitteln des Farbwertes stehen im Programm verschiedene, wählbare Methoden zur Verfügung, die man in der inneren Schleife der Berechnungsfunktion findet. Eine der Varianten der ausführlichen Programmversion erfasst lediglich die Nachkommastellen der berechneten Werte, aus denen sich sehr interessante Bilder ergeben, die an Städte mit Hochhäusern erinnern (siehe Galerie).
Das Bild links zeigt die Einstellung der Programmparameter, die zum obigen Bild führen (einfache, hier veröffentlichte Programmversion).
Seltsame Grafik
Das obige Bild zeigt das Ergebnis des Zahlenbereiches von x = -8, y = -4 bis x = +4, y = + 4. Im Gegensatz zur Mandelbrot-Figur gibt es hier keine sich wiederholenden oder ins Kleinere hin fortsetzenden Strukturen. Jede Fläche scheint ihre typischen Muster zu besitzen, die nur dort und nirgendwo anders vorkommen, abgesehen von der Tatsache, dass es sich bei den im negativen Y-Bereich befindlichen Zahlen um eine doppelte Spiegelung der Zahlen des positiven Bereiches handelt - doch auch dies stimmt nur zum Teil, wenn man genau hinschaut.
Auffallend ist auch, dass sich die gut erkennbaren Muster im Bereich um den Nullpunkt konzentrieren. Je weiter man sich von 0 entfernt (zum Beispiel mehr als 20 im X-Bereich und 4 im Y-Bereich, desto undefinierter werden die Strukturen: Sie verwandeln sich in kurvige, parallele Linien oder in ein an Sand erinnerndes, gesprenkeltes Muster.
Doch auch hier gibt es wiederum Ausnahmen.
Ausflug in die Philosophie
Auch hier stellt sich wieder die fast philosophisch anmutende Frage: Wie ist es möglich, dass aus solch einfachen Bildungsgesetzen solche komplexen, seltsamen Muster entstehen? Und warum gibt es besondere, merkwürdig geformte Flächen, deren Koordinaten ganz besondere Eigenschaften besitzen? Was ist das Besondere an diesen Zahlen - was unterscheidet sie von anderen? Im Prinzip sind die gezeigten Bilder mit den Phasendiagrammen der Chemie vergleichbar, in denen bestimmte Flächen zum Beispiel alle Kombinationen von Druck- und Temperaturwerten aufzeigen, bei denen ein bestimmter Stoff fest, flüssig oder Gasförmig ist.
Homogene Flächen in den gezeigten Hopalong-Fraktalen zeigen dagegen Bereiche, bei denen die betreffenden Zahlenpaare (Koordinaten) zu gleichen oder sehr ähnlichen "Häkeldeckchen-Mustern" führen.
Bei einem weiteren Zoom werden die seltsamen Muster besonders deutlich, wie die folgenden Bilder zeigen:
Bild oben: Vergrößerung des linken, unteren Bereiches aus dem ersten Bild. Ich weiß nicht, warum, aber ich erkenne in der linken Figur immer eine Art Insekt, einen Käfer oder eine Heuschrecke mit Fühlern am Kopf. Dem aufragenden Gebilde rechts daneben kann ich jedoch nichts Bekanntes zuordnen. Nennen wir es an dieser Stelle doch einfach "Vogelfeder". Ganz gleich, wie man die Parameter der Software auch einstellt: Diese Gebilde erscheinen stets an derselben Stelle, sind jedoch je nach Einstellung mehr oder weniger deutlich ausgeprägt und manchmal nur schwer erkennbar, wenn sie sich auf Grund einer speziellen Farbgebung nicht oder nur unmerklich vom Hintergrund abheben. Es gibt nirgendwo im Koordinatensystem eine Fläche, an denen sich dieselben oder ähnliche Figuren befinden.
Bild oben: Vergrößerung des Kopfes der "Heuschrecke". Auch die dort erscheinenden Muster habe ich bisher sonst an keiner anderen Stelle gefunden.
Bild oben: Vergrößerter Ausschnitt aus der "Vogelfeder" - diesmal mit anderer Farbpalette. Auch hier wieder ein einzigartiges Muster, das sonst nirgendwo auftaucht.
Bild oben: Bei bestimmten Einstellungen hat man sogar den Eindruck, das Panorama einer Stadt zu erkennen.
... während man bei anderen Einstellungen glauben könnte, das Werk eines Malers zu betrachten (unteres Bild).